攻克“最强大脑”节目项目

（命题人：清华大学 张阳阳）

温馨提示：科学是我评判的唯一标准。

【繁花曲线】

《最强大脑之燃烧吧大脑》节目中出现“繁花曲线”挑战项目，说起“繁花曲线”，彼时的繁花曲线规，已经红极大江南北，遍地开花，“繁花曲线”的图案更是运用在各个领域，丝绸、餐具、书本等等，堪称80、90后两代人心中的童年回忆。“繁花曲线”

一段段美丽的线条，一种种绚丽的色彩。它是数学与美的完美结合，有一百个大小不一形态各异的繁花齿轮，每个齿轮均有不同形状不同位置的绘图孔，繁花齿轮在空心外图板的圆洞中转动，便绘制出无数种绚丽的图形。

《无问西东》电影中有一句话：“器识为先，文艺其从，立德立言，无问西东。”这句话其实出自于清华大学的校歌。意思是人活这一辈子不应该被各种框框束缚，而是认清真实的自我遵循本心而活。繁花曲线是由杨秉烈先生发明的，他是第一个获得国家发明奖的人，他的一生奋斗在科技发明前线。杨秉烈先生正是保持着这样的匠人初心，不为世俗观念裹挟，他的精神和德行应当为后世铭记于心。

1. 数学模型一：

真实的繁花曲线使用一种称为繁花曲线规的小玩意绘制，繁花曲线规由相互契合的大小两个圆组成，用笔插在小圆上的一个孔中，紧贴大圆的内壁滚动，就可以绘制出漂亮的图案。

设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，k为比例系数，分为“两圆内切、圆O1固定、圆O2顺时针滚动”和“两圆外切，圆O1固定，圆O2顺时针滚动”两种情况，如下图所示：

通过建立数学模型，可以得到两种情况下动点的轨迹方程：

提示：使用Python中的Numpy库和Matplotlib库。绘制不同条件的繁花曲线，作图要求如下：

• 在时间0 ~ t内，每隔0.01取一个点作图，即：时间步长为0.01；
• 绘图对象的宽度为12英寸，高度为5英寸；
• 对于左图，线条为红色，厚度为2，实线；
• 对于右图，线条为蓝色，厚度为2，实线；
• 保存图片名称为“fanhua”，分辨率为dpi=300。

1. 请你使用Python编程，分别画出“两圆内切、圆O1固定、圆O2顺时针滚动”和“两圆 外切，圆O1固定，圆O2顺时针滚动”所形成的繁花曲线图，其中圆O1的半径为r1=5， 圆O2的半径为r2=2，比例系数k为1，时间为1000，只有得到下面结果，程序才正确。

1. 请你使用Python编程，分别画出“两圆内切、圆O1固定、圆O2顺时针滚动”和“两圆 外切，圆O1固定，圆O2顺时针滚动”所形成的繁花曲线图，其中圆O1的半径为r1=17， 圆O2的半径为r2=13，比例系数k为1，时间为1000，只有得到下面结果，程序才正确。

3. 请你使用Python编程，分别画出“两圆内切、圆O1固定、圆O2顺时针滚动”和“两圆 外切，圆O1固定，圆O2顺时针滚动”所形成的繁花曲线图，其中圆O1的半径为r1=17， 圆O2的半径为r2=13，比例系数k为0.5，时间为1000，只有得到下面结果，程序正确。

（4）请你使用Python编程，在同一个图中画出“两圆内切、圆O1固定、圆O2顺时针滚动” 和“两圆外切，圆O1固定，圆O2顺时针滚动”所形成的繁花曲线图，通过建立数学模型， 将前一种情况的横纵坐标均放大n倍，可以得到两种情况下动点的轨迹方程：

请你使用Python编程，在同一个图中画出繁花曲线图，只有得到下面结果，程序才是正确的。

4-1 圆O1的半径为r1=17，圆O2的半径为r2=13，比例系数k为0.38，时间为1000，n=2.1；

4-2 圆O1的半径为r1=17，圆O2的半径为r2=13，比例系数k为0.98，时间为1000，n=1.0；

4-3 圆O1的半径为r1=17，圆O2的半径为r2=13，比例系数k为0.50，时间为1000，n=5.0；

（5）下面让点A成为动点，在圆O2的某一半径上逐渐由圆心原理圆心的方程运动，请你使用 Python编程，在同一个图中画出“两圆内切、圆O1固定、圆O2顺时针滚动” 和“两圆外 切，圆O1固定，圆O2顺时针滚动”所形成的繁花曲线图，通过建立数学模型，分别将横 纵坐标里的前一项乘以mt项，可以得到两种情况下动点的轨迹方程。

请你使用Python编程，在同一个图中画出繁花曲线图，只有得到下面结果，程序才是正确的。

5-1 圆O1半径r1=157，圆O2半径r2=53，比例系数k为0.7，时间为1000，n=1.0，m=0.01；

5-2 圆O1半径r1=157，圆O2半径r2=53，比例系数k为0.7，时间为1000，n=0.7，m=0.01；

5-3 圆O1半径r1=111，圆O2半径r2=22，比例系数k为0.25，时间为1000，n=0.25，m=0.01；

2. 数学模型二：

假设只考虑两圆内切、圆O1固定、圆O2顺时针滚动的情况，如下图所示：

通过数学建模，可以得到动点的运动轨迹的参数方程如下：

（6）请你使用Python编程，设计一个for循环结构，分别作出大圆半径R=7，比例系数k为 2.7，时间为1000，长度l 分别取3、4、5、6、7、8的时候，所形成的繁花曲线。只有得 到下面结果，程序才是正确的。

3. 数学模型三：

繁花曲线的形成可以想象成有两个半径不相等的圆，大圆位置固定，小圆在大圆内部，小圆紧贴着大圆内壁滚动，求小圆上的某一点走过的轨迹。

进一步分析，小圆的运动可以分解为两个部分：小圆圆心绕大圆圆心公转、小圆绕自身圆心自转。设大圆圆心为A，半径为Ra，小圆圆心为B，半径为Rb，轨迹点为C，半径为Rc (BC距离)，设小圆公转的弧度为，假设只考虑两圆内切、圆O1固定、圆O2顺时针滚动的情况，如下图所示：

因为大圆的圆心坐标是固定的，要求得小圆上的某点的轨迹，就需要先求出小圆在当前时刻的圆心坐标，再求出小圆自转的弧度，最后求出小圆上某点的坐标。

1. （拓展题）请你使用Python编程，绘制上述繁花曲线的动态形成过程，并保存为.gif文件， 只有最后动画结束的时候得到下面结果，程序才是正确的。（提示：使用pygame库）

附录：

繁花曲线形成原理图

参考答案：